Introduction to DMFT Formalism

考虑如下随机微分方程

其中， 是动力学过程的非线性函数， 是噪声。采用 Ito 约定，将方程离散化为

我们的目标是得到 的动力学路径的概率分布 ，其离散化形式可以写为

其中 是函数 的零点，并且是唯一的。利用狄拉克 函数的复合性质以及其傅里叶积分表示，可以得到

因此可以将概率密度 改写为

在 ， 的极限下，利用 ， 和 ，并且定义噪声过程的矩生成泛函

可以将 重新写回连续形式

为了得到概率分布 中的统计量，我们可以定义所谓的矩生成泛函

其中 被称为源场。更一般地，我们可以给系统施加一个扰动场 ，将动力学方程改写为

通过替换 ，可以得到包含扰动场的矩生成泛函

% 我们规定记号 以及 ，， 将与动力学方程本身有关的项定义为作用量

将噪声的矩生成泛函用其累积生成泛函表示

这样，生成泛函写为

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对于常见的高斯白噪声，我们一般写为如下形式

采用 的离散化方案， 的方差为 ，概率密度写为

因此噪声的矩生成泛函为

噪声累积生成泛函为